◈ 소수의 종류
이번 포스팅에서는 중학교 2학년 수학에서 다루는 순환소수에 대해 알아보고자 합니다.
하지만 그전에, 이전에 배웠던 기억을 되살려, 소수에는 어떤 종류가 있는지 먼저 살펴보도록 하겠습니다.
소수에는 유한소수와 무한소수가 있으며, 무한소수에는 순환소수와 순환하지 않는 무한소수가 있습니다.
분류에 대한 이해는 아래 그림을 살펴보면 더 쉽게 이해할 수 있습니다.
◈ 순환소수란?
그렇다면 다시 순환소수로 돌아와서 더 자세히 알아보도록 하겠습니다.
순환소수는 이름에서 유추할 수 있듯이 순환하는 소수라는 뜻입니다.
무엇이 순환하느냐?
예를 들어,
0.33333..... 이라는 소수는 소수점 첫째 자리에서 부터 3이라는 숫자가 반복되고 있지요?
0.123123123...이라는 소수는 소수점 첫째 자리서부터 셋째 자리까지 123이라는 숫자들이 반복되고 있습니다.
이렇게 일정한 패턴을 가지고 반복되는, 즉 순환하는 소수를 순환소수라고 부릅니다.
π 와 같이 3.141592..... 로 일정한 패턴 없이 무작위로 끝이 나지 않는 소수는 순환소수가 아닙니다.
◈ 순환소수 표시 방법
한편 앞서 살펴본 순환소수 0.3333...는 어떻게 표기해야 할까요? 0.3...? 0.333.......? 얼마나 많은 반복되는 3을 표기해야 할까요?
이런 애매한 상황을 피하고자, 우리는 순환하는, 즉 반복되는 숫자 위에 점을 찍어 표시하도록 약속을 했습니다.
바로 다음과 마찬가지로 말이죠.
그렇다면 0.123123123.... 은 어떻게 표기할까요? 순환하는 숫자들의 첫 번째와 마지막 숫자 위에 점을 찍어 표시합니다. ※ 어떤 순환소수이던지 점 두 개만 찍어주면 됩니다. 순환하는 숫자들 모두에 점을 찍을 필요가 없습니다.
0.012121212... 같은 소수는 다음과 같이 표기하면 됩니다. 어렵지 않지요?
◈ 순환소수를 분수로 고치는 방법
분수를 순환소수로 변환하는 방법은 간단합니다. 숫자를 나눈 후에 반복되는 수의 배열만 찾아서 그 위에 점을 찍어주면 되니까요.
그렇다면 순환소수를 분수로 고치는 방법은 어떨까요?
순환소수를 분수로 바꾸는 법을 알기 위해서는 약간의 창의성이 필요하며, 이 단원의 메인이라고도 할 수 있는 부분이기 때문에 잘 숙지해야 합니다.
우리가 익히 알고 있듯, 0.12 같은 소수는 소수 자리 개수만큼 0이 붙은 100을 분모로 하고, 소수 자리의 12를 분자로 하는 분수를 쉽게 만들 수 있습니다. 그 다음 분자 분모를 약분하면 3/25라는 분수를 쉽게 구할 수 있습니다.
하지만 0.121212.. 는 어떻게 분수로 바꿀까요? 순환하는 소수자리의 숫자들 때문에 분모를 어떻게 잡아야 할지 모르겠습니다. 그렇다면 순환하는 소수 자리들을 모두 없애버리면 분수로 만들 수 있는 형태가 되지 않을까요?
맞습니다. 그리고 다음과 같은 방법으로 순환하는 소수들을 없애버려 분수로 변환이 가능합니다.
100 x 0.121212.... - 0.121212.... = 12
☞ 99 x 0.121212... = 12 (12.121212.... - 0.121212... = 12)
☞ 0.121212... = 12/99
자, 이제 순환소수인 0.121212... 를 분수 12/99로 표현 가능하게 되었습니다. 약분하면 4/33 이군요. 신기하지 않나요?
그럼 다른 형태의 순환소수도 분수로 바꿔 보겠습니다.
0.0121212...
1,000 x 0.0121212... - 10 x 0.0121212 = 12
☞ 990 x 0.0121212 = 12 (12.121212.... - 0.121212... = 12)
☞ 0.0121212 = 12/990
◈ 순환소수를 분수로 바꾸는 요령
순환소수를 분수로 바꾸는 요령은, 순환하는 숫자 자리 개수만큼 분모에 9를 넣고 순환하는 소수 자리를 분자에 넣는 겁니다. 0.1212.... 에서 순환하는 숫자 자리가 1과 2, 두 개이므로 99를 분모로 한 다음, 순환하는 숫자 12를 분자에 넣는 거지요.
만약 0.01212...처럼 순환하는 소수 앞에 0이 붙었다면, 위와 동일한 방식으로 분수를 만들어주되 분모 마지막에 0을 붙여 주기만 하면 됩니다.
이번에는 조금 난이도를 올려 0.123121212... 를 분수로 바꿔보겠습니다.
어렵다고 당황하지 말고 위에서 살펴본 방식을 사용해 순환하는 소수를 없애주는 것을 목표로 하면 됩니다.
100,000x 0.123121212 - 1,000 x 0.123121212 = 12189
☞ 99000 x 0.1231212.. = 12189 (12312.1212... - 123.1212....)
☞ 0.1231212...= 12189/99000
지금까지 중 2 수학에서 다루는 순환소수에 대해서 알아보았습니다.
순환소수 단원에서는 ①순환소수를 분수로 바꾸는 방법과 ②분수를 순환소수로 표현할 때 표기법에 대해 잘 알아둬야 하겠습니다. 이를 중점으로 물어보는 문제가 나올 가능성이 크기 때문입니다.
관련 문제를 풀다 보면, 간단한 순환소수는 쉽게 분수로 바꾸는 요령을 터득할 수 있습니다. 하지만 난이도 있는 문제는 조금 생각을 필요로 하는데요, 그렇지만 앞서 설명했듯이, 순환하는 소수들을 모두 없애준다는 생각으로 문제에 접근하면 어렵지 않게 해결이 가능합니다.
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