중 3 수학: 이차방정식, 근의 공식을 이용한 이차방정식 문제 푸는 방법

◈ 이차방정식이란

이차방정식은 미지수의 차수가 2인 방정식을 의미합니다.

기본적인 형태는 다음과 같습니다.

a가 0이 아니어야 하는 이유는, a가 0일 경우 위의 식은 더 이상 2차 방정식이 아니라 

bx + c = 0이라는 일차방정식이 되기 때문입니다.

같은 이유로, 다음과 같은 식도 이차방정식이 아닙니다.

이항을 통해 정리하면 이차항은 사라지고 bx + c = 0이라는 식이 되기 때문입니다.

 

◈ 이차방정식의 해(근)

이차방정식은 기본적으로 두 개의 해를 가지고 있습니다.

왜 그런지 이해를 돕기 위해 아래의 간단한 이차 방정식의 해를 구해보겠습니다.

머릿속으로 쉽게 계산이 되겠지만, 위 이차방정식의 해, x는 2 뿐만이 아닙니다.

-2도 x가 될 수 있기 때문이지요 (x = 2 또는 -2)

나중에 살펴보겠지만, 이런 이유로 이차함수의 그래프에는 x절편이 두 개인 경우가 발생하게 됩니다.

 

◈ 이차방정식 문제 푸는 방법

이차방정식 문제를 푸는 방법에는 다음과 같이 세 가지가 있으며, 문제에 따라 쉬운 방법을 골라 해 또는 근을 구하면 되겠습니다.

• 인수분해를 이용한 이차방정식 풀이
• 제곱근을 이용한 이차방정식 풀이
• 근의 공식을 이용한 이차방정식 풀이

◈ 인수분해를 이용한 이차방정식 풀이

인수분해라는 것은 어떤 수를 그 수의 약수들을 이용하여 곱셈의 형식으로 표현한 것임을 기억하고 있을 것입니다.

즉, 미지수의 차수가 2차인 방정식을 아래와 같이 곱셈의 형식으로 변환하는 것을 이차방정식의 인수분해라고 합니다. 

인수분해를 마쳤으면, a(x - p)(x - q) = 0이라는 식이 가지고 있는 성질을 이용해 해를 구하면 됩니다.

이 인수분해 된 식이 가지는 성질이 무엇이냐면,  a는 0이 아니기 때문에 (x - p)항이나 (x - q)항 둘 중에 하나만 0 이 되면 우변도 0이 된다는 것입니다.

즉 x = p 또는 q라는 뜻과 동일합니다.

 

그렇다면 이차방정식의 인수분해는 어떻게 할까요?

이차방정식을 인수분해 하기 위해서는 다음의 계산 흐름을 이해할 필요가 있습니다.

 

인수분해의 핵심은, -a(p + q) = b가 되면서 동시에 a x p x q = c가 되는 조합을 찾아내는 것입니다.

이 원리를 이용해 아래 문제를 풀어보겠습니다.

위 이차방정식의 두 해(p, q)는 서로 더하면 -3이 나오고 곱하면 2가 나와야 하는 조합입니다.

p와 q가 각각 (-2, -1) 또는 (-1, -2)이면 되겠군요.

따라서, 위의 식은 (x + 1)(x + 2) = 0이라는 식으로 인수분해할 수 있습니다.

인수 분해된 식을 만족시키는 x값(이차방정식의 해)은 -1 또는 -2가 되겠습니다. 

 

◈ 제곱근을 이용한 이차방정식 풀이

어떤 이차방정식은 제곱근을 이용하면 더 쉽게 풀 수 있습니다.

가령, 다음과 같은 방정식은,

이항을 하고 루트를 씌워주면 금방 해가 나옵니다. 어렵지 않지요?

 

◈ 근의 공식을 이용한 이차방정식 풀이

위에서 인수분해와 제곱근을 이용한 이차방정식 풀이에 대해 알아봤습니다만,

실제 문제에서는 이 두 방법을 이용해 풀기 복잡한 식이 나올 수 있습니다.

이럴 때를 대비해서 우리는 근의 공식을 외우고 있어야 하겠습니다.

근의 공식은 다음과 같습니다.

이차방정식 근의 공식

근의 공식을 이용해서 상수값만 입력하면 이차방정식의 해를 구할 수 있습니다. 매우 간편합니다.

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지금까지 중 3 수학 이차방정식과 이차방정식 푸는 방법에 대해 알아보았습니다. 이차방정식은 이차함수와도 연결이 되고 고등학교 진학해서도 계속 쓰이기 때문에 꼭 완벽하게 학습해야 하겠습니다. 

소개된 이차방정식을 푸는 방법을 세 가지 중에, 근의 공식 하나만 외우고 있으면 이차방정식 해를 구하는 데에는 문제가 없습니다. 하지만 응용된 문제를 해결하고 문제에 따라 더 쉽게 풀기 위해서는 세 가지 방법 모두 숙지하는 것이 바람직하겠습니다.

 

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