중 1 수학: 부채꼴의 넓이 공식. 호의 길이 구하는 공식

우리는 이미 원에 대해 배웠으며, 원의 넓이를 구하는 방법과 원둘레의 길이를 구하는 방법도 알고 있습니다.

중 1 수학에서는 부채꼴에 대해 배우는데요, 부채꼴은 원의 연장선에 있는 개념입니다.

그래서 부채꼴의 넓이와 호 길이를 구하는 방법을 배우기 앞서, 원의 넓이 공식과 원의 둘레 공식을 한 번 더 짚고 넘어가겠습니다.

 

원의 넓이(S) = 반지름(r) x 반지름(r) x π

 

원의 넓이 공식

 

원의 둘레(l) = 2 x 반지름(r) x π

 

원의 둘레 공식

 

원의 넓이를 S로 표기하는 이유는 넓이를 의미하는 square에서 차용했기 때문이며,

반지름 r은 반지름을 뜻한는 radius에서 둘레(l) 은 length에서 각각 따 왔습니다.

영어 뜻이 중요한 것은 아니지만, 수학 문제에서는 모두 알파벳을 사용하여 표기하므로, 알파벳 표기에 익숙해지는 것이 좋겠습니다.

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◈ 부채꼴이란

부채꼴은 원을 피자 조각 자르듯이 원의 중심을 지나도록 자른 원의 일부분입니다. 생긴 모양이 부채처럼 생겨서 부채꼴이라는 이름이 붙었습니다. 부채꼴의 호는 원을 잘랐을 때 남은 원주의 곡선 부분을 의미합니다.

부채꼴의 중심각은 원의 중심을 꼭지점으로 하는 부채꼴의 각입니다.

부채꼴이 원의 중심을 지나도록 잘랐기 때문에 우리는 부채꼴을 원의 일부로 간주하여 넓이와 호의 길이를 구할 수 있습니다.

 

◈ 부채꼴의 넓이

피자를 한 판 주문해서 4명이 똑같은 크기로 잘라 나눠 먹는다고 합시다.

만약 피자 한 판의 넓이가 1이라면, 한 사람마다 먹은 피자 조각의 넓이는 1/4가 될 것입니다.

만약 8명이 위의 피자를 똑같이 나눠 먹었다면, 한 사람 당 먹은 피자 조각의 넓이는 1/8이 될 것입니다.

 

부채꼴의 넓이 공식. 호의 길이 구하는 공식

 

그렇다면 1/4 조각 피자의 중심각은 얼마일까요? 직각이겠지요. 90˚는 완전한 원일 때 중심각인 360˚의 1/4입니다.

1/8 조각 피자의 중심각은 그럼 얼마일까요? 360˚의 1/8인 45˚입니다.

어떤가요? 감이 좀 오는 것 같나요?

부채꼴의 넓이를 구한다는 것은 다른 의미로 그 부채꼴이 완전한 원이었을 때 대비 얼마 비율의 넓이인가를 찾는 문제입니다.

그리고 그 비율을 알기 위해서는 중심각을 꼭 알아야 하는 것이죠.

좀 더 이해를 돕기 위해 아래 그림을 참고해 주세요.

 

부채꼴의 넓이 공식. 호의 길이 구하는 공식

 

부채꼴의 넓이 구하는 법을 공식화해서 표현하면 다음과 같습니다. x는 중심각을 의미합니다.

 

부채꼴 넓이 공식

 

 

◈ 부채꼴 호의 길이

부채꼴 호의 길이를 구하는 문제 역시 부채꼴을 원의 일부라고 간주하고 풀어나가면 됩니다.

피자 한 판의 원주를 구할 수 있다면,

1/4조각 피자의 호 길이는 '피자 한 판의 원주 x 1/4'이 될 것입니다.

1/8조각 피자의 호 길이는 '피자 한 판의 원주 x 1/8'이 되는 것이고요.

부채꼴 호의 길이를 묻는 역시 중심각을 알아야 풀 수 있습니다. 

부채꼴 호의 길이를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

 

부채꼴 호의 길이 공식

 

◈ 또 다른 부채꼴 넓이 공식

앞서 부채꼴 넓이를 구하는 공식을 알려드렸습니다만,

다음과 같이 또 다른 형태의 부채꼴 넓이 공식도 유도할 수 있습니다.

 

부채꼴의 넓이 공식

 

첫 번째 부채꼴 넓이 공식만 알고 있어도 문제 푸는 데 지장은 없습니다

하지만 부채꼴의 반지름과 호 길이를 알려주고 부채꼴의 넓이를 구하는 문제는 위 공식을 사용하면 금방 풀 수가 있습니다. 문제에 따라 매우 유용하게 사용할 수 있겠습니다.

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지금까지 중 1 수학 부채꼴의 넓이 구하는 공식과 호의 길이 구하는 공식을 알아보았습니다. 공식을 외우고 있으면 대입해서 풀기 수월하지만, 공식이 나오게 된 원리를 이해하는 것도 응용문제를 만났을 때 도움이 됩니다. 또한 문제를 많이 풀어보고 유형에 익숙해지는 동시에 속도감 있게 문제를 푸는 것도 중요하겠습니다.