중 2 수학: 연립방정식. 연립방정식 푸는 법

◈ 연립방정식이란

방정식이란 미지수가 있으며 미지수 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 등식입니다.

앞서 배운 방정식은 미지수가 한 개 밖에 없었지만,

우리는 아래와 같이 미지수가 두 개 또는 세 개인 방정식도 상상해 볼 수 있습니다.

ax + by + c = 0 (단, a ≠ 0, b ≠ 0)

ax + by + cz + d = 0 (단, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0)

 

이렇듯 미지수가 여러 개인 방정식을 두 개 이상 나열한 것을 연립방정식이라고 합니다.

연립방정식에는 보통 방정식들을 묶어주는 표시 '{'가 있으며, 연립이라는 단어에서 연립방정식의 의미를 유추해 볼 수 있겠습니다.

 

 

 

◈ 연립방정식의 해

그렇다면 우리는 미지수가 두 개 또는 세 개 이상인 방정식의 미지수는 어떻게 구할 수 있을까요?

예를 들어, 2x + 2y - 10 = 0이라는 미지수가 x, y 두 개인 방정식에서 x와 y의 해는 여러 개가 될 수 있습니다.

(x = 0, y = 5), (x = 1, y = 4), (x = 2, y = 3), (x = 3, y = 2), (x = 4, y = 1), (x = 5, y = 0).....

 

중 2 수학: 연립방정식. 연립방정식 푸는 법

 

 

하지만 만약 x + 2y - 8 = 0 라는 방정식을 추가해서, 두 미지수 값을 풀면 어떻게 될까요?

2x + 2y - 10 = 0
x + 2y - 8 = 0

위의 연립방정식을 모두 만족시키는 x는 2가 되고, y는 3이 됩니다.

어떻게 빨리 풀었냐고요?

 

◈ 연립방정식 푸는 법

연립방정식 푸는 법①: 소거하기

연립방정식을 풀기 위해서는 가장 먼저 미지수를 하나씩 없애야 합니다. 

미지수가 x와 y 두 개라면, x 또는 y를 없애주는 것이지요.

미지수가 x, y, x 와 같이 세 개라면, 세 미지수들 중 아무거나 하나씩 없애주면 연립방정식을 풀 수 있습니다.

이렇게 미지수를 없애주는 것을 '소거'라고 부릅니다.

 

미지수를 한 번 소거해 봅시다.

연립방정식을 푸는 법: 소거법
  2x + 2y - 10 = 0
-) x + 2y - 8 = 0   
   x  + 0y - 2 = 0

두 방정식을 뺐더니, 미지수 y항이 사라졌습니다. 즉 미지수 y가 소거되었습니다.

그리고 x = 2라는 결론이 나오는군요. 이를 위의 아무 방정식에 대입해보면, y = 3이라는 답을 구할 수 있습니다. 

연립방정식 푸는 법②: 대입법

하지만 우리는 소거법 말고도 다른 방식으로 연립방정식을 풀 수도 있습니다.

바로 하나의 방정식을 다른 방정식에 직접 대입해보는 겁니다.

위 연립방정식에서 두번째 방정식은 이항을 통해 x = 8 - 2y라는 식으로 변형할 수 있습니다.

이제 첫번째 방정식에 변형된 두 번째 방정식을 대입해 보겠습니다.

2(8 - 2y) + 2y - 10 = 0
16 - 4y + 2y -10 = 0
2y = 6
y = 3

같은 결과가 나왔음을 확인할 수 있습니다.

 

중 2 수학: 연립방정식. 연립방정식 푸는 법

 

 

 

조금 더 복잡한 식을 소거 및 대입해 봅시다.

2x + 2y - 10 = 0
3x + 4y - 12 = 0

소거법을 사용하기 위해 첫째 방정식에는 3을 곱하고, 두번째 방정식에는 2를 곱해보겠습니다.

그리고 대입법을 사용하기 위해 첫번째 방정식의 양변을 2로 나누어 보겠습니다.

 

중 2 수학: 연립방정식. 연립방정식 푸는 법

 

이렇듯 연립방정식을 푸는 법은,

① 미지수를 하나 소거해서 남은 미지수의 해를 구하거나,

② 한 방정식을 이항한 후 다른 방정식에 대입해서 해를 구하면 됩니다.

 

이런 요령으로 미지수가 세 개인 연립방정식, 네 개인 연립방정식의 해도 구할 수 있습니다.

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지금까지 중 2 수학 연립방정식과 연립방정식 푸는 법에 대해 알아보았습니다.

중 2 수학을 공부하는 학생들과 지도하는 학부모님들에게 도움이 되었길 바랍니다.

마지막으로 연립방정식에 관한 한 가지 팁을 알려드리자면,

연립방정식에서 미지수가 두 개이면, 방정식도 두 개여야 연립방정식의 해를 구할 수 있으며,

연립방정식의 미지수가 세 개이면, 방정식도 세 개여야 미지수를 구할 수 있습니다.

즉, 미지수 개수와 동일한 만큼의 방정식이 있어야 문제를 풀 수 있습니다.