중 3 수학: 이차함수, 포물선 모양의 이차함수의 그래프

앞서 배운 일차함수는 y = f(x), y = ax + b의 수식입니다.

위와 같은 식의 일차함수를 그래프로 그려보면 직선 형태가 된다는 것을 잘 알고 있겠지요?

중 2 수학: 일차함수와 일차함수 그래프, 일차함수 기울기

◈ 이차함수 그래프, 포물선

한편, 이차함수의 그래프는 포물선 모양을 가지고 있습니다.

공을 던졌을 때 공의 궤적을 상상해보거나, 스케이트 보드 묘기 쇼가 펼쳐지는 U자 형의 슬로프를 찾아본다면, 포물선이 무엇인지 쉽게 떠올릴 수 있겠습니다.

 

이 포물선은 축을 기준으로 좌우가 완벽히 대칭이며, 이차항의 상수에 따라 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 모양이 될 수 있고 포물선의 좌우 폭이 넓어지거나 좁아질 수 있습니다.

 

또한 이차함수의 다른 상수들은 이 포물선을 x, y 축 좌표 평면에서 좌우상하로 움직이게 만듭니다.

 

◈ 이차함수 그래프의 성질, 포물선 방향, 폭

이차함수의 기본적 형태는 다음과 같지만,

이차함수 그래프를 보다 쉽게 이해하기 위해, 이차항만 남은 가장 기본적인 형태의 이차함수를 그래프로 옮겨 보겠습니다.

그래프에서 확인할 수 있다시피, 이차항의 상수 a 가 1인 이차함수의 그래프는 아래로 볼록한 모양을 하고 있습니다.

한편 이차항의 상수 a가 -1인 이차함수는 위로 볼록한 모양의 그래프를 보이고 있습니다.

그래서 이차함수의 그래프는

• a>0 이면 아래로 볼록한 포물선,
• a<0 이면 위로 볼록한 포물선이 됩니다.

또한 상수 a의 절대값이 커질수록 포물선이 좁아집니다, 즉, 포물선의 기울기가 가팔라집니다.

상수 a의 절대값이 커지면 포물선이 좁아지고, 절대값이 작아지면 포물선 폭이 넓어진다

 

◈ 이차함수 그래프의 성질, 상하 좌우 이동

이번에는 이차함수 그래프를 상하좌우로 움직여 보겠습니다.

만약 다음과 같은 인수분해가 가능한 이차함수를 그래프로 옮겨 보면,

그래프가 오른쪽으로 움직인 것을 확인할 수가 있는데요,

이 그래프는 다음의 가장 기본적인 형태의 이차함수 그래프가 x축 양의 방향으로 1만큼 움직인 그래프와 일치합니다.

 

한편, 다음과 같은 이차함수는,

그래프를 y축 양의 방향으로 1만큼 움직인 그래프임을 확인할 수 있습니다.

따라서, 지금까지 알아본 내용들을 종합해보면,

포물선을 x축 방향으로 a만큼 움직이고 y축 방향으로 b만큼 움직이고 싶다면, 다음과 같이 이차함수 식을 만들면 되겠습니다.

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◈ 이차함수 그래프와 이차방정식

지금까지 중 3 수학 과정 중 이차함수 그래프에 대해 알아보았습니다.

위에서 알아본 내용만 정확하게 이해해도 이차함수 그래프와 관련한 모든 문제들을 풀 수 있을 것입니다.

하지만 수학이라는 과목은 많은 문제들을 풀어봐야 하는 과목입니다.

많은 문제들을 풀다보면 문제 유형에 익숙해지며 시험에 나올법한 문제들을 예상할 수 있기 때문입니다. 뿐만 아니라 지속된 문제 풀이를 통해 통해 계산 시간을 단축하고 주어진 시간내에 정확한 답을 내도록 훈련을 해야 합니다.

따라서 지금 학습하고 있는 교제 이외에 문제집이나 학습지를 추가로 풀어보는 것을 강력 추천합니다.

 

이차방정식은 이차함수 그래프와 연결 지어 생각해 볼 것들이 많습니다.

이차함수의 특징을 잘 알고 있다면 이차방정식의 해를 구하는 데에도 많은 도움이 됩니다.

사실 이차방정식의 해를 구한다는 것은, 수많은 이차함수의 (x, y) 순서쌍 중에서 y = 0일 때의 x값을 찾는 것과 같기 때문입니다.

 

그래서 결론적으로 이야기 하면, 이차방정식의 해는, 포물선 모양의 이차함수 그래프가 x축과 만나는 지점(곧 y = 0인 지점의 x값)과 일치합니다.

 

포물선이 x축과 만나는 지점을 상상해 보세요.

포물선이라는 특성상, 포물선이 x축과 접하는 점도 있을 것이고, 포물선이 x축을 관통해서 두 개의 점에서 만나는 경우도 있습니다. 때로는 x축과 만나지 않는 포물선도 존재합니다.

포물선이 x축과 접하는 경우 이차방정식의 해는 한 개이며,
포물선이 x축과 두 점에서 만나는 경우, 이차방정식의 해는 두 개,
포물선이 x축과 만나지 않는 경우, 이차방정식의 해는 없게 됩니다.

 

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